EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855)

El teorema fundaental del álgebra puede enunciarse de muchas formas. Por ejemplo: todo polinomio de grado ≥1, con coeficientes reales o complejos tiene n raíces reales o complejas. Es decir, un polinomio P(x) de grado n tiene n valores xi (que no tienen por qué ser diferentes) tales que P(x) de grado n tienen la forma:

Consideramos, como por ejemplo, el polinomio cuadrático f(x)=x^2-4. Si se representa graficamente, se ve que se trata de una parabola cuyo vertice se encuentra en f(x)=-4. El polinomio tiene dos raices reales distintas, (x=2 y x=-2), que en la gráfica se ve que se trata de una parábola y el eje x.

La importancia de este teorema se debe, en parte, a la cantidad de intentos de demostrarlo que se han dado a lo largo de la historia. La primera demostración suele atribuirse al matemático alemán Carl Friedrich Gauss. En su tesis doctoral, publicada con coeficientes reales; también dio a conocer sus objeciones a las demostraciones anteriores. La demostración de Gauss no es completamente rigurosa segun lo criterios actuales, porque toma como punto de partida la continuidad de algunas curvas; en cualquier caso supuso un avance significativo respecto a todos los intentos previos de demostración.

Gauss concedia gran importancia a este teorema; la prueba es que lo retomó en muchs ocasiones. Su cuarta demostración formaba parte del úlimo  artículo que escribió. Fue en 1849, exactamente cincuenta años después de su tesis doctoral. Debemos señalar que en 1806, Robert Argand publicó una demostración rigurosa del tema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos. El teorema aparece en muchas áreas de las matemáticas y las diversas demostraciones abarcan campos que van desde el algebra abstracta y el analisis complejo hasta la topologia.